Расстояние от точки до прямой и до плоскости
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4,
а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.
Опустим перпендикуляр из 
Значит, 
Следовательно, треугольники 
Поскольку BN : NO = 3 (по теореме о точке пересечения медиан), а 
(по условию), заключаем, что 
то есть 
Значит, отрезок NK — медиана треугольника BNS. Этот треугольник является равнобедренным, поскольку BN = SN как соответственные медианы равных треугольников. Следовательно, отрезок NK является также и высотой треугольника BNS. Точки N, P и K лежат на одной прямой, а потому прямая NP перпендикулярна прямой BS.
Из треугольника SOB получим 
Тогда в треугольнике KNB
Тогда угол NKB равен 90°, то есть прямые В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и 
Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
и 
поэтому стороны SA и AB, SA и AD перпендикулярны, значит, ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2.
а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
поэтому он прямоугольный, то есть прямая SD перпендикулярна прямой SB. Очевидно, что прямые SB и PQ параллельны как стороны равносторонних треугольников с общим углом, тогда прямая SD перпендикулярна прямой PQ. Прямая AC перпендикулярна прямой BD, и по теореме о трёх перпендикулярах прямая AC перпендикулярна прямой SD, а значит, и прямая QR перпендикулярна прямой SD. Таким образом, плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
Поскольку плоскость PQR перпендикулярна ребру SD, искомое расстояние равно DE.
В правильной треугольной призме АВСА′B′C′ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.
CP = 1. Проведём PL, проведём LR || AC, 
Проведём RK. Трапеция LPKR — искомое сечение. Сечение параллельно АС по признаку параллельности прямой к плоскости. 
P(0; 5; 0), 
и 
получаем, что 
найдем уравнение плоскости и вычислим расстояние от точки до плоскости. 
подставив координаты точки К:
поэтому 
(ΔBKF ~ ΔBAT):
Тогда 
Тогда 
и 
следовательно, 
то 
Пусть основанием перпендикуляра опущенного из T на γ будет являться точка S. Тогда TS || BM || F''F'. Таким образом, треугольники FTS и FF''F' будут подобны. Следовательно, 
откуда 
В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 
На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.
параллельна диагонали основания BD, поэтому пересекает основание ABCD по прямой KK1, параллельной BD, K1 лежит на CD. 
поэтому прямая сечения LL1 параллельна BD, где L1 лежит на B1C1. Сечением призмы будет трапеция 
как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах 
следовательно, 
Значит, 
Таким образом, 
следовательно, треугольник 
прямоугольный, 
Таким образом, 
в плоскости AA1C1C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как по доказанному в п. а) 
плоскость 
следовательно, указанный перпендикуляр — искомое расстояние. Найдем 
Заметим, 
Таким образом, 
перпендикулярный плоскости 
Определим координаты точек, лежащих в этой плоскости: 
Подставим найденные координаты в уравнение плоскости 
получим:
не проходит через начало координат, поэтому можно положить D равным любому отличному от нуля числу. Пусть 
тогда 
Следовательно,
Следовательно, векторы 
и 
коллинеарные, а потому 
до плоскости 
определяется по формуле 
получаем:
Пройти тестирование по этим заданиям